문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 방정식 (문단 편집) === 정규성 === 라플라스 방정식은 경계조건이 정해지면 해가 유일하게 존재한다. 상미분방정식 느낌으로 보면 아무것도 아닌 것 같아 보이지만, 해의 존재성조차 보장되지 않는 편미분방정식 기준에선 이건 엄청난 특혜이다. 해의 존재/유일성 뿐만이 아니라 정규성을 보면 더 엄청나다. 라플라스 방정식의 해를 '''조화함수'''(harmonic function)라고 하는데, 조화함수는 열린 영역 내부에서는 항상 [[매끄러움|매끄럽다]]. 이건 초기조건이 아무리 좋지 못한 함수여도 뭐든 간에 성립한다는 것이 더욱 놀랍다. 심지어 weak solution[* 미분불가능할 수 있지만 분포이론 접근에서 조건을 만족시키는 해의 일종]에 대해서도 [[매끄러움]]이 보장된다. 유일성의 증명은 [[발산 정리]]를 적용해 나온 다음 식에서 [math(\displaystyle \int_{\partial M} (f \nabla f) \cdot \vec{n} = \int_{M} (|\nabla f|^2 + f \nabla^2 f) )] 디리클레 경계조건 ([math(f=0)]) 혹은 노이만 경계조건 ([math(\nabla f \cdot \vec{n}=0)])이 0일 경우 해가 0임을 보이고, 선형성에 의거해 논증하면 된다. 다만 존재성의 일반적인 증명은 생각만큼이나 쉽지 않고, PDE의 고급 이론이 필요하다. 조화함수는 매끄러움 외에도 여러가지 성질을 만족시킨다. * 평균값 성질: 조화함수의 초구 혹은 초구면 위에서의 평균은 중심점에서의 값과 동일하다. 즉 다음이 성립한다. 여기서 [math(B_r, S_r)]은 반지름 [math(r)]인 n차원 초구/초구면, [math(\nu)]는 [math(S_r)] 위의 넓이측도이다. [math( \displaystyle f(x) = \frac{1}{\mathrm{vol}(B_r)}\int_{|x-y|저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기